刘进，湖南桃源人，1982年生。2001-2011年在清华大学数学科学系学习，获得数学学士、硕士、博士学位。2011年7月起在国防科技大学信息系统与管理学院工作。主要研究方向为运筹优化、图形处理、微分几何。发表SCI论文10余篇，出版专著4部。

李海峰，湖南邵阳人，1980 年生。2009年博士毕业于武汉大学测绘遥感信息工程重点实验室，摄影测量与遥感专业。现任中南大学土木工程学院副教授，硕士生导师，中南大学地球科学与信息物理学院博士后。主要研究方向为摄影测量与遥感、GIS， 图形处理与微分几何。在国内外期刊及学术会议上发表SCI/EI论文20余篇，出版专著1部。

刘煜，湖南岳阳人，1983年生。2010年博士毕业于英国东安格利亚大学。2011年7月起在国防科技大学信息系统与管理学院工作。主要研究领域为编码孔径技术、人脸识别和人脸表情识别、计算机力反馈研究和计算几何。发表SCI论文10余篇，出版专著1部。

]徐培德，上海人，1958年生。1987年毕业于国防科技大学系统工程与数学系应用数学专业，获硕士学位。一直从事军事运筹、计算机仿真模拟、图形处理和计算几何等方面的研究。现为国防科技大学教授，中国运筹学会常务理事、副秘书长，全军军事运筹学学会副理事长，中国系统工程学会军事系统工程专业委员会委员，中国计算机模拟学会常务理事，湖南省运筹学会常务理事，《运筹与管理》分区主编。参加和主持科研项目30余项，获省部（军队）级科技进步二等奖4项、三等奖4项，发表学术论文80多篇，已出版教材、专著6部（第一作者4部）。

贺川，男，汉族，四川都江堰人，1985年出生。2003-2010年于中国人民解放军郑州防空兵学院学习，先后获得指挥自动化工程专业学士和军事运筹学硕士学位。2010~2013年于国防科学技术大学信息系统与管理学院学习，获军队指挥学博士学位。主要研究方向为军事运筹分析和航天装备军事应用以及图形处理。

伍国华，男，1986年出生，湖南新宁人，2010年开始在国防科学技术大学攻读博士学位，2012年-至今获中国留学基金委资助于加拿大阿尔伯塔大学留学。研究兴趣为：运筹学理论与方法，组合优化，计算几何与图形处理。

1965—1970年左右，五位数学大师发表的三篇著名的文章（Simons的《Minimal Varieties in Riemannian Manifolds》，Lawson的《Local Rigidity Theorems for Minimal Hypersurfaces》和陈省身、do Carmo、Kobayashi联合发表的《Minimal Submanifolds of a Sphere with Second Fundamental Form of Constant Length》）开辟了子流形几何之中非常奇特的间隙现象研究，引出了等参超曲面数十年悬而未决的系列猜想。

一个自然的问题是，间隙现象是否严格依赖泛函的表达形式？答案是否定的，大量的研究表明，间隙现象是一个较为普遍的现象，在各种具体的泛函之中都有表现。第二个自然的问题是，除了所涉及的具体泛函，抽象形式的泛函在多大范围之内可以推导出间隙现象？这就是本书所要部分回答的问题。

本书以变分法作为主要工具。用变分法研究曲率模长泛函是一个自然的选择。变分法的重要性基于三个主要理由。理由一：在自然科学中的成功应用，特别是在图形处理的新理论、新方法、新算法设计中的作用；理由二：古典曲面论启发对空间形态的认识取决于两个因素： 内蕴因素与外蕴因素，即曲面在三维空间的形态不仅由内蕴度量性质的第一基本型决定，也由曲面的嵌入方式即外蕴度量性质的第二基本型决定；理由三：数学家和诺贝尔经济学奖获得者Nash发明的Nash嵌入定理使任何一个完备的黎曼流形都可嵌入为欧氏空间的子流形，在此意义上，黎曼流形内蕴的研究本质上可以归结于子流形内蕴和外蕴性质的研究。

变分理论的研究历史悠久，最速下降线或者测地线的变分法研究即是子流形变分法的雏形。数学家欧拉、高斯、黎曼、嘉当、陈省身、丘成桐等对变分法做出了重要贡献。一个著名的例子是陈省身与合作者利用变分法和结构方程讨论了单位球面中极小子流形的某些几何量的间隙现象，并且确定了间隙端点所对应的特殊子流形，是子流形几何中的具有显著地位的定理。以此结论出发，众多数学家进行推广和深入探讨，形成目前子流形几何一个较为重要的方向： 间隙现象的研究。

本书的主要目的在于系统地研究和介绍曲率模长泛函的变分理论。全书共分11章，可以归纳为3部分。第1部分为第1章，主要介绍曲率模长泛函的研究历程和国内外研究现状，使读者对于此类泛函有整体的把握。第二部分是基础理论篇，包括2、3、4、5等4章。各章的目的和作用不一。第2章精炼介绍微分几何的基本方程和定理，为后面各章提供预备知识；第3章推导子流形几何的基本方程和变分法基本公式，是本书的理论基础；变分法的计算通常非常复杂，为了简化公式和计算过程，第4章研究子流形第二基本型的组合构造方法：牛顿变换法，并推导了新构造的张量的基本性质，是对第3章内容的扩充和精细；自伴算子是子流间隙现象研究的有效工具，第五章利用牛顿张量设计了多种几何意义明确的自伴算子，并对几种典型函数做了精细的计算。第3部分是本书的核心篇章，包括6、7、8、9、10、11等6章。各章的主题不一。第6章回顾了经典的体积泛函的定义，并陈述了极小子流形曲率模长间隙现象，由此出发，作者定义了最一般的曲率模长泛函。第7章计算了曲率模长泛函的第一变分公式，这是整个研究的基础。在第一变分公式的基础上，在第8章， 作者综合运用代数、方程的手段构造了典型的临界子流形。在第9章，作者计算了曲率模长泛函的第二变分公式，适用范围广泛。第10章推导了子流形几何中非常奇异的Simons类型积分不等式。第11章详细讨论各类型曲率模长泛函的间隙现象，定出了间隙端点对应的特殊子流形，是全书的精华部分。

全书由6位作者合作完成。第1、10、11章由刘进完成，第4、9章由李海峰完成，第2、3章由刘煜完成，第5、6章由徐培德完成，贺川、伍国华分别完成第7、8章，全书由刘进统稿。

本书是作者对曲率模长泛函变分问题的一个粗浅阐述，由于作者水平有限，请各位专家不吝赐教。

本书的研究课题受到如下项目资助： 国家自然科学基金项目（41001220和51178193），中国博士后科学基金面上资助项目[HK]（2012M511411），中国博士后科学基金特别资助项目（2013T60779），国家高技术研究发展计划（863计划）项目：（2012AA121301）。

刘进 李海峰 刘煜 徐培德 贺川 伍国华等

2013年6月